Matlab 中部分旋转的高斯消元法
本文将帮助读者了解如何在 Matlab 中使用高斯消元法。
在 Matlab 中使用高斯消元法
高斯方法是求解线性代数方程 (SLA) 系统的经典方法。
这是一种顺序排除变量的方法；当使用基本变换时，方程组被简化为等价的三角形系统。
所有系统变量都按顺序定位，从最后一个（按编号）开始。
Gauss-Jordan 算法在第一步将第一行除以系数 A[1,1]。
然后该算法将第一行添加到具有这样系数的其余行中，使得它们在第一列中的系数变为零 - 为此，当将第一行添加到第 i 行时，有必要将其乘以 -A[i,1]。
对于矩阵 A 的每个操作（除以一个数字并与另一行相加），用向量 b 执行相应的操作；从某种意义上说，它的行为就像是矩阵 A 的第 m+1 列。
结果，在第一步结束时，矩阵 A 的第一列将变为单列（即，它将在第一行包含一个，在其余行包含零）。
同理，执行算法的第二步；现在只考虑第二列和第二行。首先，第二行除以 A[2,2]，然后从所有其他行中减去系数，例如重置矩阵 A 的第二列。
依此类推，直到我们处理矩阵 A 的所有行或列。如果 n= m，那么从算法的构造中可以明显看出，矩阵 A 将变成奇异矩阵，这正是我们所需要的。
在 Matlab 中使用旋转作为辅助功能
当然，上述方案是不完整的。它仅在每个第 i 步元素 A[i, i] 不为零时才有效 - 否则，我们将无法通过将第 i 行添加到当前列中的剩余系数来将其归零.
有一个选择参考元素的过程（总而言之，旋转）以使算法在这种情况下工作。它包括这样一个事实，即矩阵的行和列被重新排列，以便所需的元素 A[i, i] 具有非零数。
请注意，在计算机上，行的重排比列的重排要容易得多：毕竟，在交换某些两列时，你需要记住这两个变量交换了位置，以便在还原答案时，正确还原哪个 answer 属于哪个变量。
重新排列行时，无需执行此类附加操作。
换句话说，在使用部分旋转启发式执行 Gauss-Jordan 算法的第 i 阶段之前，需要在索引从 i 到 n 的元素中找到第 i 列的最大模，并交换第 i 行包含此元素的行。
function x = pivot(~, ~)
% Program to Solve Ax = b using Gaussian Elimination Method with partial-
% pivoting (Row-exchange)
%==========================================================================
% OUTPUT:
%==========================================================================
% Solution vector, x
%==========================================================================
A=[1 2 3; 4 5 6];
b=[1 -2 5];
[m,n] = size(A); % checking the size of matrix
%==========================================================================
% Initialization
x = zeros(m,1);
l = zeros(m,m-1);
%==========================================================================
% Main Program
%==========================================================================
% Reducing Matrix A to upper triangular form
for k = 1:m-1
% =========Performing Partial-pivoting=================================
for p = k+1:m
if (abs(A(k,k)) < abs(A(p,k)))
A([k p],:) = A([p k],:);
b([k p]) = b([p k]);
end
end
% =====================================================================
% =========Setting Matrix A to triangular form=================================
for i = k+1:m
l(i,k) = A(i,k)/A(k,k);
for j = k+1:n
A(i,j) = A(i,j)-l(i,k)*A(k,j);
end
b(i) = b(i)-l(i,k)*b(k);
end
end
for k = 1:m-1
for i = k+1:m
A(i,k) = 0;
end
end
%==========================================================================
% Backward substitution of Matrix A
%==========================================================================
x(m) = b(m)/A(m,m);
for i = m-1:-1:1
sum = 0;
for j = i+1:m
sum = sum + A(i,j)*x(j);
end
x(i) = (b(i)- sum)/A(i,i);
end
%==========================================================================
end
输出：
ans =
-3
2