MATLAB 中的特征值分解

1. 在 MATLAB 中将矩阵的特征值分解为其特征值和特征向量
2. 在 MATLAB 中使用 eig() 函数将任何矩阵分解为其特征值和特征向量

我们将研究在 MATLAB 中将任何矩阵分解为其特征值和特征向量的不同方法。

在 MATLAB 中将矩阵的特征值分解为其特征值和特征向量

我们将使用不同的示例代码和相关输出来清除你的概念，并让你全面了解在 MATLAB 中将任何矩阵分解为其特征值和特征向量的方法。请注意，特征函数将矩阵分解为其组成部分。

它还使我们的矩阵或数据去相关。我们还使用它来减少矩阵的维度以降低复杂性。

我们也称这种分解矩阵对角化。

任何矩阵分解成它的特征值和特征向量可以是 Cholesky 分解或 Hessenberg 分解等，这取决于我们选择的要求。让我们通过查看以下示例来理解这些概念。

在 MATLAB 中使用 eig() 函数将任何矩阵分解为其特征值和特征向量

让我们假设一个方阵 M。

$$
M\ =\ \begin{matrix}
1 & 2 & 3\
4 & 5 & 6\
7 & 8 & 9\
\end{matrix}
$$

方阵 M 具有特征值（标量λ）和作为非零向量 A 的特征向量，当它们满足方程 MA = λA 时。我们得到一个满足 MV = VΛ 的矩阵，其对角矩阵具有特征值和矩阵 V 的列上的等效特征向量。

请注意，如果我们的矩阵 V 是一个非奇异矩阵，我们将我们的特征分解定义为 M = VΛV-1。

让我们通过以下示例来理解这个概念。

代码：

M=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
lambda = eig(M)
[V,D] = eig(M)

输出：

在这个例子中，我们在向量矩阵 M 上使用了 eig(M) 函数。函数 eig(M) 返回一个对角矩阵。

我们将此矩阵表示为 D。函数 eig(M) 还返回一个包含相应特征向量（我们的矩阵 M 的右特征向量）的矩阵。

矩阵 M、输出向量 v 和对角矩阵 D 必须满足方程 M*V = V*D。如果我们的矩阵 M 是实对称的、倾斜的 Hermitain 或 Herimitain，那么我们的矩阵 M 的特征向量将是正交的。

让我们通过另一个例子再次理解这个概念。

代码：

A = gallery('circul',3)
[V,D] = eig(A) %calculating eigenvalues-and-eigenvectors of our matrix
A*V - V*D %in order to varify our results

输出：

请注意，特征分解理想地满足方程 M*V = V*D。但实际上，函数 eig() 使用浮点计算进行特征分解，因此 AV 只能近似 VD。

换句话说，AV - VD 接近但不等于 0。