二叉搜尋

1. 二叉搜尋演算法
2. 二叉搜尋示例
3. 二叉搜尋演算法的實現
4. 二叉搜尋演算法的複雜度

二叉搜尋是最流行、最高效的搜尋演算法。事實上，它是最快的搜尋演算法。和跳轉排序一樣，它也需要對陣列進行排序。它是基於分而治之的方法，我們將陣列分為兩半，然後將我們要搜尋的專案與中間的專案進行比較。如果中間的專案匹配，我們就返回中間元素的索引；否則，我們就根據專案的值移動到左右兩半。

二叉搜尋演算法

假設我們有一個未排序的陣列 A[]，包含 n 個元素，我們想找到一個元素 X。

二叉搜尋示例

假設我們有一個陣列。(1,2,3,4,5,6,7,8,9)，我們想找到 X - 8。

二叉搜尋演算法的實現

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int binarySearch(int arr[], int lo, int hi, int x) {
  while (lo <= hi) {
    int m = lo + (hi - lo) / 2;
    if (arr[m] == x) return m;
    if (arr[m] < x)
      lo = m + 1;
    else
      hi = m - 1;
  }
  return -1;
}

int main(void) {
  int n = 9;
  int arr[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
  int x = 8;
  int result = binarySearch(arr, 0, n - 1, x);
  if (result == -1) {
    cout << "Element not found !!";
  } else
    cout << "Element found at index " << result;
  return 0;
}

二叉搜尋演算法的複雜度

時間複雜度

• 平均情況

當我們進行二叉搜尋時，我們搜尋一半，丟棄另一半，每次都會將陣列的大小減少一半。

時間複雜度的表示式是由遞迴給出的。

T(n) = T(n/2) + k , k is a constant.

這個遞迴的結果給出了 logn，時間複雜度為 O(logn)。它比線性搜尋和跳轉搜尋都要快。

• 最佳情況

最好的情況是當中間元素是我們正在搜尋的元素，並且在第一次迭代中被返回。最佳情況下的時間複雜度是 O(1)。

• 最壞的情況

最壞情況下的時間複雜度與平均情況下的時間複雜度相同。最壞情況下的時間複雜度是 O(logn)。

空間複雜度

在迭代執行的情況下，該演算法的空間複雜度為 O(1)，因為除了臨時變數外，它不需要任何資料結構。

在遞迴實現的情況下，由於遞迴呼叫堆疊所需的空間，空間複雜度為 O(logn)。