在 R 語言中查詢矩陣的零空間
Jesse John
2023年1月30日
矩陣 A 的零空間包含所有向量 x，滿足方程 Ax = 0。本文演示瞭如何在 R 中找到矩陣的零空間。
在 R 中使用 pracma 包的 nullspace() 查詢矩陣的零空間
實用數值數學函式包 pracma 提供 nullspace() 函式來查詢矩陣的零空間。我們需要安裝這個包（一次性任務），載入它，然後使用 nullspace() 函式。
該函式返回另一個矩陣。此結果的列是線性獨立的，並且跨越矩陣的零空間。
換句話說，它們構成了原始矩陣的零空間的基礎。如果零空間僅包含零向量，則函式返回 NULL。
在示例程式碼中，我們將建立一個 2 行 5 列的矩陣。nullspace() 函式返回的矩陣的行數與矩陣中的列數一樣多。
對於我們的示例矩陣，它將有 5 行。
示例程式碼：
# Install the pracma package. (One-time task.)
install.packages(pracma)
# Load the pracma package.
library(pracma)
# Create a sample matrix, A.
A = matrix(c(11:20), nrow = 2, byrow = TRUE)
A
# Find the nullspace of the matrix A.
# Here, we save the nullspace as N to check the result.
N = nullspace(A)
N
輸出：
> # Create a sample matrix, A.
> A = matrix(c(11:20), nrow = 2, byrow = TRUE)
> A
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 11 12 13 14 15
[2,] 16 17 18 19 20
> # Find the nullspace of the matrix A.
> # Here, we save the nullspace as N to check the result.
> N = nullspace(A)
> N
[,1] [,2] [,3]
[1,] -0.40544227 -0.3635422 -0.3216421
[2,] 0.04947538 0.3931700 0.7368647
[3,] 0.84401032 -0.1910660 -0.2261424
[4,] -0.21467770 0.6567907 -0.4717409
[5,] -0.27336573 -0.4953525 0.2826606
檢查 R 中 nullspace() 函式的結果
零空間基的每個列向量必須滿足方程 Ax = 0。這些向量的每個線性組合也必須滿足這個方程。
但是，我們必須記住，會出現舍入誤差。1e-10 階的元素幾乎等於 0。
示例程式碼：
# Multiply A with a column of N.
A %*% N[,1]
# Multiply A with a linear combination of all columns of N.
A %*% (5*N[,1]+2*N[,2]+3*N[,3])
輸出：
> # Multiply A with a column of N.
> A %*% N[,1]
[,1]
[1,] 5.329071e-15
[2,] 1.776357e-15
>
> # Multiply A with a linear combination of all columns of N.
> A %*% (5*N[,1]+2*N[,2]+3*N[,3])
[,1]
[1,] 1.776357e-14
[2,] -3.197442e-14
R 中零空間基中的小數元素
當我們在具有整數元素的小矩陣上手動計算零空間時，我們通常會得到具有有理數元素的零空間基。
但是，R 返回的矩陣由十進位制陣列成。
儘管不在 R 上，但 MathWorks 零空間函式的幫助頁面 區分了零空間的正交基和有理基。該描述暗示兩者是等價的。
這也意味著從演算法的角度來看，返回標準正交基在數值上更準確。
作者： Jesse John
Jesse is passionate about data analysis and visualization. He uses the R statistical programming language for all aspects of his work.