Python 中的曲線曲率
Manav Narula
2021年8月10日
曲率是曲線偏離直線的量度。例如，圓的曲率是半徑的倒數，而直線的曲率是 0。
在本教程中，我們將學習如何使用 numpy 模組在 Python 中計算曲線的曲率。我們還將計算其他量，例如速度，加速度等。你可以在下面的圖片中找到必要的公式。
我們將使用以下曲線。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
coordinates = np.array(
[[1, 1], [1.5, 2], [2, 3], [2.5, 3.5], [3, 4], [3.5, 4.25], [4, 4.5]]
)
plt.plot(coordinates[:, 0], coordinates[:, 1])
輸出：
對於與曲線有關的此類問題，我們需要計算給定曲線在每個點的導數。在這種情況下使用 numpy.gradient() 方法，該方法返回 N 維陣列的梯度。
在下面的程式碼中，我們計算所有點的曲線速度。
x_t = np.gradient(coordinates[:, 0])
y_t = np.gradient(coordinates[:, 1])
vel = np.array([[x_t[i], y_t[i]] for i in range(x_t.size)])
print(vel)
輸出：
[[0.5 1. ]
[0.5 1. ]
[0.5 0.75 ]
[0.5 0.5 ]
[0.5 0.375]
[0.5 0.25 ]
[0.5 0.25 ]]
在計算速度之後，我們繼續進行速度。現在，速度就是速度的模數。但是，應該知道，到目前為止，所有事物都是 t 的函式（t 表示時間間隔）。因此，我們將在每一秒的時間間隔內將速度表示為數值的 numpy 陣列。
請參見下面的程式碼。
speed = np.sqrt(x_t * x_t + y_t * y_t)
print(speed)
輸出：
[1.11803399 1.11803399 0.90138782 0.70710678 0.625 0.55901699
0.55901699]
現在，為了計算切線，我們將執行一些變換，以確保速度和速度的大小相同。同樣，我們需要能夠將向量值速度函式除以標量速度陣列。
tangent = np.array([1 / speed] * 2).transpose() * vel
print(tangent)
輸出：
[[0.4472136 0.89442719]
[0.4472136 0.89442719]
[0.5547002 0.83205029]
[0.70710678 0.70710678]
[0.8 0.6 ]
[0.89442719 0.4472136 ]
[0.89442719 0.4472136 ]]
同樣，我們現在可以隔離切線的分量並計算其梯度以找到法線向量。
現在，我們將在下面的程式碼中實現提供的曲率公式。
ss_t = np.gradient(speed)
xx_t = np.gradient(x_t)
yy_t = np.gradient(y_t)
curvature_val = np.abs(xx_t * y_t - x_t * yy_t) / (x_t * x_t + y_t * y_t) ** 1.5
print(curvature_val)
輸出：
[0. 0.04472136 0.17067698 0.26516504 0.256 0.17888544
0. ]
作者： Manav Narula
Manav is a IT Professional who has a lot of experience as a core developer in many live projects. He is an avid learner who enjoys learning new things and sharing his findings whenever possible.
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