MATLAB 中的特徵值分解

1. 在 MATLAB 中將矩陣的特徵值分解為其特徵值和特徵向量
2. 在 MATLAB 中使用 eig() 函式將任何矩陣分解為其特徵值和特徵向量

我們將研究在 MATLAB 中將任何矩陣分解為其特徵值和特徵向量的不同方法。

在 MATLAB 中將矩陣的特徵值分解為其特徵值和特徵向量

我們將使用不同的示例程式碼和相關輸出來清除你的概念，並讓你全面瞭解在 MATLAB 中將任何矩陣分解為其特徵值和特徵向量的方法。請注意，特徵函式將矩陣分解為其組成部分。

它還使我們的矩陣或資料去相關。我們還使用它來減少矩陣的維度以降低複雜性。

我們也稱這種分解矩陣對角化。

任何矩陣分解成它的特徵值和特徵向量可以是 Cholesky 分解或 Hessenberg 分解等，這取決於我們選擇的要求。讓我們通過檢視以下示例來理解這些概念。

在 MATLAB 中使用 eig() 函式將任何矩陣分解為其特徵值和特徵向量

讓我們假設一個方陣 M。

$$
M\ =\ \begin{matrix}
1 & 2 & 3\
4 & 5 & 6\
7 & 8 & 9\
\end{matrix}
$$

方陣 M 具有特徵值（標量λ）和作為非零向量 A 的特徵向量，當它們滿足方程 MA = λA 時。我們得到一個滿足 MV = VΛ 的矩陣，其對角矩陣具有特徵值和矩陣 V 的列上的等效特徵向量。

請注意，如果我們的矩陣 V 是一個非奇異矩陣，我們將我們的特徵分解定義為 M = VΛV-1。

讓我們通過以下示例來理解這個概念。

程式碼：

M=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
lambda = eig(M)
[V,D] = eig(M)

輸出：

在這個例子中，我們在向量矩陣 M 上使用了 eig(M) 函式。函式 eig(M) 返回一個對角矩陣。

我們將此矩陣表示為 D。函式 eig(M) 還返回一個包含相應特徵向量（我們的矩陣 M 的右特徵向量）的矩陣。

矩陣 M、輸出向量 v 和對角矩陣 D 必須滿足方程 M*V = V*D。如果我們的矩陣 M 是實對稱的、傾斜的 Hermitain 或 Herimitain，那麼我們的矩陣 M 的特徵向量將是正交的。

讓我們通過另一個例子再次理解這個概念。

程式碼：

A = gallery('circul',3)
[V,D] = eig(A) %calculating eigenvalues-and-eigenvectors of our matrix
A*V - V*D %in order to varify our results

輸出：

請注意，特徵分解理想地滿足方程 M*V = V*D。但實際上，函式 eig() 使用浮點計算進行特徵分解，因此 AV 只能近似 VD。

換句話說，AV - VD 接近但不等於 0。